오일러의 공식: Euler's formula

오일러의 공식(Euler's formula)은 근대 수학의 기초를 닦은 천재 프랑스 수학자 레온하르트 오일러(1707~1783)가 유도한 삼각함수와 지수 함수와 관계를 말한다. 그 관계는 다음과 같이 간단한 형태의 수식들로 대표될 수 있다.

오일러의 공식

 

간단하게 오일러의 공식을 유도해 보자.

오일러의 공식을 유도하기 전에 먼저 먼저 테일러 급수(Taylor's series)와 이것의 특수한 형태인 맥클로린 급수(Maclaurin’s series)에 대하여 간단하게 알아 볼 필요가 있다. 어떤 함수 f(x)를 테일러 급수로 전개한다는 것은 비선형 함수 f(x)를 특정한 점 a에서 근사화하여 표현하는 것을 의미한다. 또한 맥클로린 급수는 것은 테일러 급수에서 특정한 점 a가 0일 때를 의미한다. 테일러급수와 맥클로린 급수는 아래와 같다.

오일러 공식을 유도하기 위해 삼각함수 sin과 cos을 맥클로린 급수로 전개해 보자. 먼저 삼각 함수 sin을 매클로린급수로 전개하면 다음과 같이 전개 가능하다.

삼각 함수 sin을 매클로린 급수로 전개하면 0차 항을 포함 짝수차 미분 항은 0되고 홀수차 미분항이 반복될 때마다 이것의 부호가 +에서 -로 교번 한다.

두 번째로 삼각 함수 cos을 맥클로린 급수로 전개하면 다음과 같이 전개 가능하다.

삼각 함수 cos을 매클로린급수로 전개하면 홀수차 미분항은 0되고 짝수차 미분항이 반복될 때마다 부호가 -에서 +로 교번 한다. 따라서 삼각 함수 sin과 cos의 맥클로린 급수로 전개한 것을 요약하면 다음과 같이 된다.

오일러 공식을 유도하기 위한 마지막 단계로 지수함수에 대한 맥클로린 급수 전개를 해보자. 

지수 함수를 정리해 보면 아래와 같이 sin과 cos함수에 대한 구성으로 나눌 수 있고 이것을 정리하면 오일러 공식을 완성할 수 있다. 즉, 지수 함수의 경우 실수부의 cos 함수와 허수부의 sin함수가 합쳐진 것으로 나타낼 수 있다.

앞에서 언급한 것과 같이 오일러 공식은 지수 함수와 삼각 함수의 관계를 나타내고 있음을 알 수 있다.